В каждой клетки доски 7 х7 сидит жук. По команде все жуки переползают в клетку, соседнюю по углу с той, на которой сидели. Докажите: а). Что по крайней мере 7 клеток окажутся пустыми после переползания. б). Обязательно найдётся клетка, на которой будет больше одного жука.

а) раскрасим следующим образом: первая полоса - все черные клетки, вторая - все белые, третья - все черные, и т. д. последняя черная

по условию за ход все из черных переползают в белые, а из белых в черные.

черных клеток 7 * 4 = 28

белых клеток - 7 * 3 = 21

28 - 21 = 7

поэтому, после хода 7 черных клеток останутся пустыми (минимум 7, может больше)

б) т. к. будет хотя бы одна пустая клетка, то 49 жуков надо распределить менее чем по 49 клеткам, по принципу Дирихле в одной клетке будет минимум два жука