В каждой клетке доски размером 5 х5 сидел жук. Затем каждый жук переполз на соседнюю клетку. Докажите, что осталась хотя бы одна пустая клетка.

Так как общее число клеток шахматной доски 5 х5 клеток нечетно, то черных и белых клеток не может быть поровну. Пусть для определенности черных клеток будет больше. Тогда жуков, сидящих на белых клетках, меньше, чем черных клеток. Поэтому хотя бы одна из черных клеток остается пустой, так как на черные клетки переползают только жуки, сидящие на белых клетках.