Имеются два сосуда, в первом из них 1 л. воды, второй пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый т. д, причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосуде после 2019 переливаний?

Просчитав несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить,

что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды.

Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером.

Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л,

то при следующем переливании из второго сосуда берется 1 / (2k + 1) часть,

так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2 / 2 (2k + 1)) = (k + 1) / (2k + 1) (л).

При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1 / (2k + 2) часть и остается

(k + 1) / (2k + 1) - (k + 1) / ((2k + 1) (2k + 1)) = 1/2 (л).

Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по ½ л воды.