На шахматной доске 7х7 посчитайте количество всех квадратов, границы которых проходят по границам клеток.

Квадрат со стороной 7 имеется один, квадратов со стороной 6 имеется четыре, квадратов со стороной 5 будет девять, и так далее, вплоть до квадратов со стороной 1, которых будет 49. Итого получится сумма квадратов чисел: 1²+2²+ ... +7². Эту сумму можно подсчитать вручную, а можно воспользоваться известной формулой ∑k=1nk²=n(n+1)(2n+1)/6, доказываемой методом математической индукции.

Ответом будет 140.

То, что квадратов с заданной стороной m будет (8-m)², следует из тех соображений, что если поместить такой квадрат в левый нижний угол, то далее его можно сдвинуть вправо на любое число клеток от 0 до 7-m включительно, что даёт 8-m способов, и столько же их имеется для сдвига вверх. Положение квадрата однозначно определяется упорядоченной парой таких чисел, и их будет (8-m)².