Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике?

Если выпуклый n-угольник имеет k острых углов. Тогда сумма его углов меньше k * 90 (градусы) + (n - k) * 180 (градусы). С другой стороны, сумма углов n - угольника равна (n-2) * 180 (градусы). Поэтому (n-2) * 180 (градусы) < k * 90 (градусы) + (n - k) * 180 (градусы), т. е. k < 4. Поскольку k - целое число, k 3.

Для любого n 3 существует выпуклый n-угольник с тремя острыми углами

Пусть выпуклый n-угольник имеет k острых углов. Тогда сумма его углов меньше k. 90o + (n - k). 180o. С другой стороны, сумма углов n-угольника равна (n-2). 180o. Поэтому (n-2). 180o < k. 90o + (n - k). 180o, т. е. k < 4. Поскольку k - целое число, k $ / leq$ 3.

Для любого n $ / geq$ 3 существует выпуклый n-угольник с тремя острыми углами (рис.).