Существует ли десятизначное число без нулевых цифр остатки от деления которого на каждую из его цифр различны?

Покажем, что такого числа не существует. Поскольку ненулевых цифр всего 9, а число у нас десятизначное, то по крайней мере одна из цифр будет повторяться минимум один раз, а при делении исходного числа на две одинаковые цифры не могут получаться разные остатки.

Ответ: Нет.