Рассчитать размеры цилиндрического бака для водонапорной башни при условии, состоящем в том, чтобы при заданной полной поверхности S его объём был наибольшим

Из всех геометрических тел с заданной площадью поверхности максимальный объем будет у шара ...))

Поскольку задан цилиндр, то, в этом случае, максимальный объем будет у цилиндра с квадратным вертикальным сечением, т. е. R = H/2

Докажем это:

Площадь полной поверхности цилиндра можно вычислить по формуле:

S = 2π R² + 2π RH - Выразим из этой формулы H:

2πRH = S - 2π R²

H = (S-2πR²) / 2πR

Подставим полученное выражение в формулу вычисления объёма цилиндра:

V = πR²H = πR² (S-2πR²) / 2πR = SR/2 - πR³

Найдём максимум этой функции одной переменной. Для этого вычислим производную и приравняем к нулю:

V′ = (SR/2 - π R³) ′ = S/2 - 3π R²

S/2 - 3πR² = 0

R² = S/6π

R = √ (S/6π)

R = - √ (S/6π)

Отметим эти значения на координатной прямой и определим знак производной на трёх полученных числовых интервалах: (см. рис.)

Известно, что в точке максимума производная меняет знак с плюса на минус. Соответственно, максимальный объём цилиндра можно получить, если радиус основания цилиндра будет равен:

R = √ (S/6π)

Максимальный объём цилиндра:

V = SR/2 - πR³ = R (S/2 - πR²) = √ (S/6π) * (S/2 - S/6) =

= √ (S/6π) * S/3

Найдем высоту цилиндра:

S = 2πR (R+H) = > H = S/2πR - R = S/2π (√ (S/6π)) - √ (S/6π) =

= √ (6πS) / 3π

Так как: R = √ (S/6π) = √ (6πS) / 6π, то R = H/2