Вычислите предел не по правилу Лопитпля.! Без нахождения производных, т. е. Не по калькулятору Limx=>1 (cos (pix/2)) / (1-sqrt (x)). По калькулятору я и сам могу ввести

Решение

1) Lim (x^3-+4x^2+5x+2) / (x^3-3x-2)

x->-1

x ³ - 3x - 2 = 0

x = - 1

x³ - 3x - 2 I x + 1

- (x³ + x²) x² - x - 2 = (x + 1) (x - 2)

- x² - 3x

- (-x ² - x)

- 2x - 2

- (-2x - 2)

0

x³ - 3x - 2 = (x + 1) * (x + 1) (x + 2) = (x + 1) ² (x - 2)

x^3+4x^2+5x+2 = 0

x = - 1

x³ + 4x² + 5x + 2 I x + 1

- (x³ + x²) x² + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2)

3x² + 5x

- (3x² + 3x)

2x + 2

- (2x + 2)

0

x³ + 4x² + 5x + 2 = (x + 1) ² (x + 2)

limx--> - 1 [ (x + 1) ² (x + 2) ] / [ (x + 1) ² (x - 2) ] =

= limx--> - 1 (x + 2) / (x - 2) = - (1 / 3)

2) Lim ln (1-3x) / ((sqrt8x+4) - 2)

x->0

Используем правило Лопиталя. Будем брать производные от числителя и знаменателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.

[ln (1 - 3x) ]' = - 3 / (1-3x)

[√ (8x + 4) - 2]' = 8/2√ (8x + 4) = 4/√ (8x + 4)

limx-->0 [ - 3*√ (8x + 4] / [4 * (1 - 3x) = - 6/4 = - 3/2

3) lim (4^x-2^7x) / (tg3x-x)

x->0

(4^x-2^7) ' = 4^x*ln4 - 2^7x*ln2

limx-->0 (4^x*ln4 - 2^7x*ln2) = 4ln4 - 2ln2

(tg3x - x) ' = 3/cos3x - 1

limx--> 0 (3/cos3x - 1) = 3 - 1 = 2

lim x-->0 (4^x-2^7x) / (tg3x-x) = (4ln4 - 2ln2) / 2 = 2ln4 - ln2

4) lim x--> 0 (sin2x/sin3x) ^x2

применим первый замечательный предел: [ limx--> 0 sinx/x = 1 ]

lim x--> 0 [2 * (sin2x/2x) ] * limx--> 0 [ (1/3) * (sin3x) / 3x] = 2/3

=