Найдите наименьшее расстояние между точками параболы y=x² и прямой y=2x-3. В ответе укажите квадрат этого расстояния десятичной дробью.

Парабола y=x² проходит выше прямой y=2x-3.

Вычтем первого уравнения второе и получим функцию зависимости расстояния по оси у между заданными линиями:

f (x) = x²-2x-3.

Найдём производную этой функции для определения экстремума.

f' (x) = 2x-2.

Приравняем нулю:

2 х - 2 = 0.

х = 2/1 = 1.

Найдём знаки производной f' (x) = 2x-2.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

х = 0 1 2

y' = - 2 0 2.

Поэтому в точке х=1 имеем минимум функции.

Если по оси у расстояние между линиями минимально, то оно и по оси х будет тоже минимальным.

Находим вертикальное расстояние по разности ординат:

параболы у1 = 1 ² = 1,

прямой у2 = 2*1-3 = - 1.

Δу = 1 - (-1) = 2.

Расстояние d по перпендикуляру к прямой равно:

d = Δy*cos α.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох равен 2 (по уравнению у = кх + в, где к это тангенс угла).

cos α = 1/√ (1+tg²α) = 1/√ (1+4) = 1/√5 = √5/5.

Отсюда получаем d = 2 * (√5/5) = 2√5/5 ≈ 0,894427.