Как доказать, что минус на минус дает плюс? не говорите, что аксиома

Для начала докажем, что - a = (-1) a. Итак, a + (-1) a = 1a + (-1) a = (1 + (-1)) a по аксиомам о существовании нейтрального элемента и о дистрибутивности умножения. Далее (1 + (-1)) a = 0a по аксиоме о противоположном элементе. Покажем, что 0a = 0.

0a + a = 0a + 1a = (0+1) a = 1a = a. По аксиоме о существовании нейтрального элемента по сложению, получаем 0a + a = a = 0 + a, откуда 0a = 0. Возвращаясь назад, мы получили, что a + (-a) = 0 = 0a = a + (-1) a. То есть, действительно, - a = (-1) a.

Далее в рамках аксиоматики делаем следующие преобразования: (-a) (-b) = (-1) a (-1) b = (-1) (-1) ab = - (-1) ab (в последнем равенстве мы заменили (-1) (-1) на - (-1), т. к. ранее мы доказали, что - a = (-1) a).

Покажем, что - (-a) = a. Из аксиомы о противоположном элементе - (-a) - это такой элемент x, что (-a) + x = 0. Из той же аксиомы получаем, что a + (-a) = (-a) + a = 0, значит, этот элемент равен a. Отсюда - (-1) = 1. Значит, - (-1) ab = 1ab = ab по аксиоме о существовании нейтрального элемента по умножению. Окончательно, (-a) (-b) = ab. Что и требовалось доказать.

Можно воспользоваться поговоркой враг моего врага мой друг. отрицание отрицательного дает положительное.

нам так объясняли, без аксиомы