Дан равнобедренный треугольник ABC (AC=BC). На сторонах BC, AC, AB отмечены точки A1, B1, C1 соответственно. Оказалось, что C1B1 перпендикулярно AС, B1A1 перпендикулярно BC и B1A1=B1C1. Докажите, что A1C1 перпендикулярно AB.

1) Проведём для начала А1 С1

2) Рассмотрим треугольник СВ1 А1 он прямоугольный

Пусть угол B1 в нем равен альфа, тогда угол С1 В1 А1 = 90 - альфа (Потому что В1 С1 перпендикулярно АС и сумма углов при вершине В1 равна 90 градусов)

3) Рассмотрим треугольник А1 В1 С1 он равнобедренный

Угол С1 В1 А1 = 90 - альфа, тогда можно найти 2 других угла, которые будут равны тоже по 90 - альфа, следовательно этот треугольник равносторонний и углы равны по 60 градусов

4) Рассмотрим треугольник СВ1 А1 он прямоугольный. Мы знаем что 90 - альфа = 60, значит альфа = 30 градусов (это угол В1)

Теперь найдем угол С он равен 60 градусов, следовательно треугольник АВС равносторонний, значит все углы там по 60 градусов.

5) Рассмотрим треугольник АВ1 С1 он прямоугольный. Найдем угол В1 С1 А = 30 градусов

6) Найдем угол А1 С1 В = 180-60-30=90 градусов. Отсюда следует, что А1 С1 перпендикулярно АВ.