Докажите что,

ab (a+b) ≤a^3+b^3 если а≥0 b≥0

Допустим, что a<0 и b<0. Распишем сумму кубов: a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2). Тогда ab (a+b) ≤ (a+b) (a^2-ab+b^2). При a и b<0, (a+b) - отрицательное, а а^2-ab+b^2≥ab, поскольку (a-b) ^2≥0 при любых a и b. Тогда сокращением на (a+b) меняется знак неравенства. Имеем ab≥ (a^2-ab+b^2) или (a-b) ^2≤0, но это неравенство не выполняется, за исключением равенства нулю при равных a и b. Приходим к противоречию, следовательно верное неравенство (a-b) ^2≥0 выполняется только при a≥0 и b≥0.