Найти высоту опущенную из вершины А треугольника АВС если известно что А = (2,1,-3) В = (-2,1,2) С = (2,4,2)

Найдем эту высоту через площадь треугольника, так как все три стороны нам известны (даны координаты вершин треугольника).

Вектор АВ{-4; 0; 5}, его модуль (длина) |AB|=√ (4²+0+5²) = √41.

Вектор BC{4; 3; 0}, |BC|=√ (4²+3²+0) = 5.

Вектор AC{0; 3; 5}, |AC|=√ (0+3²+5²) = √34.

Поскольку стороны имеют "не красивую" длину, то

проще всего в нашем случае найти площадь по формуле S = (1/2) * a*b*Sinα, где а, b - стороны треугольника, α - угол между ними.

Найдем угол между векторами, например, АВ и АС.

Угол α между вектором a и b находится по формуле:

cosα = (x1*x2+y1*y2+z1*z2) / [√ (x1²+y1²+z1²) * √ (x2²+y2²+z2²) ].

В нашем случае: cosA = (0+0+25) / (√41*√34) = 25/√1394 ≈ 0,6697.

Это угол ≈47,96° Синус этого угла равен ≈0,7427.

Или так: SinA=√ (1-625/1394) = √ (769/1394) ≈0,7427. Что то же самое.

Тогда площадь нашего треугольника равна

S = (1/2) * AB*AC*SinA или

S = (1/2) * √41*√34*√ (769/1394) = (1/2) * √1394*√ (769/1394) = (√769) / 2.

Но S = (1/2) * AH*BC, отсюда АН=2S/BC или АН = (√769) / 5 ≈ 5,55.

Ответ: высота АН=5,55.