Задать вопрос
15 октября, 02:47

Треугольник ABC задан вершинами A = (1,2), B = (2,-2), C = (6,1). Найти угол между высотой CD и медианой BM

+3
Ответы (1)
  1. 15 октября, 03:00
    0
    Уравнение прямой проходящей через две точки с координатами (х₁; у₁) и (х₂; у₂) имеет вид:

    (x-x₁) / (x₂-x₁) = (y-y₁) / (y₂-y₁) Уравнение прямой АВ:

    (x-1) / (2-1) = (y-2) / (-2-2) или - 4 (х-1) = у-2 или 4 х+у-6=0. n₁ (4; 1) - нормальный вектор прямой АВ.

    Координаты нормального вектора прямой СD легко подбираются устно: n₂ = (-1; 4).

    У перпендикулярных прямых нормальные векторы ортогональны, значит их скалярное произведение должно быть равно 0.

    n₁· n₂=4· (-1) + 1·4=0

    Уравнение прямой, перпендикулярной прямой АВ имеет вид: - х+4 у+k=0

    Подставляем координаты точки С (6; 1) для нахождения k.

    -6+4+k=0 ⇒ k=2. Уравнение прямой СD : - x + 4y+2=0

    Координаты точки М - середины отрезка АС:

    х = (1+6) / 2=3,5, у = (2+1) / 2=1,5.

    М (3,5; 1,5)

    Уравнение прямой ВМ как прямой, проходящей через две точки, заданные своими координатами,

    имеет вид: (x-2) / (3,5-2) = (y+2) / (1,5+2) или 3,5 (х-2) = 1,5 (у+2) или 7 х-3 у-20=0.

    Нормальный вектор прямой ВМ n₃ = (7; -3).

    Угол между прямыми СD и ВМ равен углу между их нормальными векторами n₂ (-1; 4) и n₃ (7; -3).

    сos α = n₂ ·n₃ / | n₂|·| n₃ | = ((-1) ·7+4· (-12)) / √ ((-1) 2+42) ·√ (72 + (-3) 2) =

    =-19/√ (17) ·√ (58).

    α=arccos (-19/√ (17) ·√ (58)) = π-arccos (19/√ (17) ·√ (58))

    это тупой угол, а смежный с ним острый.

    В ответе берут острый угол.

    О т в е т. arccos (19/√ (17) ·√ (58))
Знаете ответ?
Сомневаетесь в ответе?
Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Треугольник ABC задан вершинами A = (1,2), B = (2,-2), C = (6,1). Найти угол между высотой CD и медианой BM ...» по предмету 📘 Математика, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.
Смотреть другие ответы