Известно, что если сумма каких-либо трёх натуральных чисел делится на n, то и сумма девятых степеней этих же чисел делится на n. Найдите наибольшее возможное натуральное значение n.

Если все три числа делятся на n, то и их сумма, и сумма 9 степеней будет делиться на n. Это очевидно.

Допустим, числа не делятся на n, но их сумма делится.

a=n*k+a1; b=n*m+b1; c=n*p+c1

Сумма остатков равна n.

a1+b1+c1=n

Для n=4 есть вариант, что сумма 9 степеней не делится на 4.

a1=b1=1; c1=2.

(4k+1) ^9 + (4m+1) ^9 + (4p+2) ^9=

4T+1^9+1^9+2^9=4T+2+8^3=

=4 (T+2*8^2) + 2 - остаток 2.

Здесь и далее все знаки = означают "имеет такой же остаток".

При n=2,3,5,6 сумма 9 степеней делится на n при любых остатках.

При n=7 опять есть вариант, при котором сумма 9 степеней не делится на 7.

a1=1; b1=2; c1=4

(7k+1) ^9 + (7m+2) ^9 + (7p+4) ^9=

7T+1^9+2^9+4^9=7T+1+512+64^3=

7T+1+490+22 + (7*9+1) ^3=

=7T+7*70+21+2+7*R+1=7Q+3

Остаток 3.