Определители 2 го, 3 го порядков. оснавные свойства определителей

щей формулой: =.

2). В нашем примере: d = (-1) ·2 - (-5) ·4 = 18.

Ответ: d=18.

Пример В-03 : Вычислить определитель 2-го порядка: d=.

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой: =.

2). В нашем примере: d = (a+b) · (a+b) - (a-b) · (a-b) =.

Ответ: d =.

☻

Замечание: формальное применение правила вычисления определителей 2-го порядка не вызывает никаких затруднений!

Определители 3-го порядка.

Определителем 3-го порядка называют число, представленное в виде специальнойконструкции : =, которой ставят в соответствие число, определяемое суммой, составленной из шести слагаемых (членов определителя) :

=++---. (2)

Говорят, что правая часть выражения (2) определяет правило его вычисления определителя 3-го порядка. Соответствие, представленное выражением (2), легко запоминается, если использовать геометрическую схему составления членов определителя:

Рассмотрим несколько примеров вычисления определителей 3-го порядка, использующих в качестве своих элементов числа, или некоторые аналитические выражения.

Пример В-04 : Вычислить определитель 3-го порядка: =.

Решение:

Вычислим определитель, применяя правило (2) и учитывая принятые обозначения:

=++---, или:

==100.

Ответ: d = 100.

Пример В-05 : Вычислить определитель 3-го порядка: =.

Решение:

Вычислим определитель, применяя правило (2) и учитывая принятые обозначения:

=++---, или:

==1.

Ответ: d = 1.

Замечание: нетрудно заметить, что правило (1) вычисления определителя 2-го порядка запомнить значительно проще, чем правило (2) для определителей 3-го порядка!

☻

Оказывается, есть правило сведения вычисления определителя 3-го порядка к вычислению нескольких определителей 2-го порядка, а именно:

= = - +, (3)

или

= = - +, (4)

Обоснование правил (3) и (4) вычисления определителя 3-го порядка мы получим в теории определителей - го порядка.

Замечание: правило (3) называют: вычисление определителя разложением по первой строке, а правило (4) : разложение по первому столбцу.

Рассмотрим несколько примеров вычисления определителей 3-го порядка, использующих в качестве своих элементов числа, или некоторые аналитические выражения.

Пример В-06 : Вычислить определитель 3-го порядка: d=.

Решение:

Вычислим определитель тремя способами: сначала применим правило (2), затем правило (3) и правило (4).

Способ 1. В соответствии с определением определителя 3-го порядка:

=++---, или:

=100.

Способ 2. В соответствии с правилом (3) вычислим определитель 3-го порядка разложением по 1-й строке:

= = - +, или

=100.

Способ 3. В соответствии с правилом (4) вычислим определитель 3-го порядка разложением по первому столбцу:

= = - +, или

=100.

Ответ: d = 100.

Примеры на тему: Разложение определителя 2-го и 3-го порядка.

Набор обобщающих Примеров соответствует требованиям "Семестрового плана" при изучении темы: "Общие сведения" для аналитической геометрии. Эти Примеры предназначены закрепить навыки вычисления определителей 2-го и 3-го порядков по принятым без доказательства правилам.

☻

Пример 1-5 : Вычислить определитель: =.

Решение:

1). Воспользуемся свойством определителя: если строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

2). В нашем случае:.

Ответ: d = 0.

Пример 2-8 : Вычислить определитель: =.

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой вычисления: d==.

2). В нашем случае: d=·-·==-2.

Ответ: d = 0.

Пример 3-43 : Вычислить определитель: =.

Решение:

Вычислим определитель тремя способами: сначала применим правило (2), затем правило (3) и правило (4).

Способ 1. В соответствии с определением определителя 3-го порядка:

=40.

Способ 2. В соответствии с правилом (3) вычислим определитель 3-го порядка разложением по 1-й строке:

==-+, или

=40.

Способ 3. В соответствии с правилом (4) вычислим определитель 3-го порядка разложением по первому столбцу:

==-+, или

=40.

Ответ: d = 40.

☻

Вопросы для самопроверки:

Как измеряют длину отрезка в геометрии, если доступны только рациональные числа? Почему в геометрии потребовались иррациональные числа? Можно ли измерить гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, если катеты равны 1, а числа используются только рациональные? Что такое вещественные числа? Что такое определитель 2-го порядка, как его вычисляют? Что такое определитель 3-го порядка, как его вычисляют?

Задачи для самоподготовки:

Пример 1-9 : Вычислить определитель: =.

Ответ: d = 1.

Пример 2-17 : Вычислить определитель:.

Ответ: d = 1.

Пример 14-47 : Вычислить определитель: =.

Ответ: d = 0.

Пример 15-57 : Вычислить определитель: =.

Ответ: d =.

Пример 16-61 : Вычислить определитель: =.

Ответ: d =.