К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. полученное число оказалось равным Кубу суммы трёх исходных чисел. найдите все возможные тройки исходных чисел, в ответе укажите их количество

Обозначим через a первое натуральное число, а через b и c записанные за ним двузначные числа. Пусть x = a + b + c. По условию числа 104a + 100b + c = x3.

Если x ≥ 100, то x3 ≥ 104x = 104 (a + b + c) > 104a + 100b + c, то есть уравнение не имеет решений.

Следовательно, x - двузначное число, a - либо однозначное, либо двузначное число, а x3 - пяти - либо шестизначное число. Кроме того, x ≥ 22 (213 = 9261 - четырёхзначное число).

Заметим, что число x3 - x = 9999a + 99b делится на 99. Так как x3 - x = x (x - 1) (x + 1), то среди чисел x - 1, x, x + 1 какое-то делится на 9 и какое-то на 11. Поскольку 22 ≤ x ≤ 99, возможны следующие случаи:

1) x = 44 (x + 1 = 45), 443 = 85184, 8 + 51 + 84 > 44;

2) x = 45 (x - 1 = 44), 453 = 91125, a = 9, b = 11, c = 25;

3) x = 54 (x + 1 = 45), 543 = 157464, 15 + 74 + 64 > 54;

4) x = 55, (x - 1 = 54), 553 = 166375, 16 + 63 + 75 > 55;

5) x = 89, (x - 1 = 88, x + 1 = 90), 893 = 704969, 70 + 49 + 69 > 89;

6) x = 98, (x + 1 = 99), 983 = 941192, 94 + 11 + 92 > 98;

7) x = 99, x3 = 970299, 2 - не двузначное число.

Ответ

9, 11, 25.