Исследуйте функцию f (x) = 2x^3+3x^2-2 и построить ее график

0. Область определения (-∞; + ∞), область значений та же.

1. Ищем производную.

f' (x) = - 3x² + 3;

2. Находим экстремумы.

-3x² + 3; = 0; x = ± 1.

3. Находим промежутки убывания ф-ции.

f' (x) < 0 при x ∈ (-∞; - 1) U (1; + ∞).

4. Промежутки возрастания:

f' (x) > 0 при x ∈ (-1; 1).

5. В точке x=-1 локальный минимум, f (-1) = - 4. В точке x=1 локальный максимум, f (1) = 0.

6. f'' (x) = 6x. Функция выпуклая при х 0, точка перегиба при x=0.

7. f (0) = - 2 - точка пересечения с осью ординат.

8. С точками пересечения с осью абсцисс сложнее, в средней школе не учат решать кубические уравнения. Но нам повезло, потому что корень x=1 мы уже случайно нашли. Поделив в столбик - x^3+3x-2 на х-1, получаем - x² - x + 2. Решив квадратное уравнение - x² - x + 2 = 0, получим два корня - 2 и 1. Таким образом, у графика ф-ции есть две общие точки с осью абсцисс: - 2 и 1.