Мистер Фокс записал квадратичную функцию f (x) = x2+ax+b

и занялся ее исследованием. В процессе исследования выяснилось, что ее график пересекает ось абсцисс в двух различных целых точках p и q. Также Фокс обнаружил, что хотя бы одно из чисел pp и qq, а также f (59) - простые числа. Найдите p+q.

Также найти p+q для f (17)

Question

Математика

Никаша

3 февраля, 12:54

Мистер Фокс записал квадратичную функцию f (x) = x2+ax+b

и занялся ее исследованием. В процессе исследования выяснилось, что ее график пересекает ось абсцисс в двух различных целых точках p и q. Также Фокс обнаружил, что хотя бы одно из чисел pp и qq, а также f (59) - простые числа. Найдите p+q.

Также найти p+q для f (17)

+1

Ответы (1)

Знаете ответ?

Наркисса · Answer 1

Эпиграф - простые числа положительны.

Квадратичная функция f (x) по условию представима в виде

f (x) = (x-p) (x-q)

1) для f (59)

f (59) = (59-p) (59-q). Как видим, f (59) - произведение двух целых чисел, и простым оно может быть лишь в случае, когда один из множителей равен 1 (или - 1) а другой - какому-то простому числу (минус какому-то простому числу).

Без ограничения общности, можно считать, что 59-p равно 1 (или - 1), тогда p=58 или p=60. Значит, чтобы соблюсти все условия, 59-q должно быть простым (или минус простым). Кстати, p в любом случае составное, поэтому, по условию q должно быть тоже простым.

59 нечетно, а значит, мы можем получить простое (или минус простое) 59-q лишь двумя способами: либо q=2, тогда 59-q=57=19*3 (не подходит), либо q = 61, тогда 59-q=-2, подходит. Иные простые q не подойдут, потому что 59-q будет четным.

Итак, единственный вариант, это 59-p = - 1, q=61, или p=60, q=61. p+q=121.

2) Аналогично

f (17) = (17-p) (17-q). Как видим, f (17) - произведение двух целых чисел, и простым оно может быть лишь в случае, когда один из множителей равен 1 (или - 1) а другой - какому-то простому числу (минус какому-то простому числу).

Без ограничения общности, можно считать, что 17-p равно 1 (или - 1), тогда p=16 или p=18. Значит, чтобы соблюсти все условия, 17-q должно быть простым (или минус простым). Кстати, p в любом случае составное, поэтому, по условию q должно быть тоже простым.

17 нечетно, а значит, мы можем получить простое (или минус простое) 17-q лишь двумя способами: либо q=2, тогда 17-q=15=5*3 (не подходит), либо q = 19, тогда 17-q=-2, подходит. Иные простые q не подойдут, потому что 17-q будет четным.

Итак, единственный вариант, это 17-p = - 1, q=19, или p=18, q=19. p+q=37.