Найдите объем треугольной пирамиды a (0,1,0) в (2,1,-1) c (1,-2,2) d (1,2,-3)

Найдем объем треугольной пирамиды, вершинами которой являются точки:

M1 = (2, 4, 6)

M2 = (2, 4, 7)

M3 = (1, - 2, 0)

M4 = (5, 1, 4)

Построим векторы M4M1, M4M2 и M4M3.

M4M1 = (2 - 5, 4 - 1, 6 - 4) = (-3, 3, 2)

M4M2 = (2 - 5, 4 - 1, 7 - 4) = (-3, 3, 3)

M4M3 = (1 - 5, - 2 - 1, 0 - 4) = (-4, - 3, - 4)

Рассмотрим произведение векторов M4M1, M4M2 и M4M3, составленное следующим образом : (M4M1 x M4M2) * M4M3. Два первые вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется смешанным произведение трех векторов. Смешанное произведение - это число, по модулю равное объему параллелепипида построенного на векторах M4M1, M4M2, M4M3. Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен 1/6 объема параллелепипеда. Найдем смешанное произведение векторов (M4M1 x M4M2) * M4M3.

M4M1 x M4M2) * M4M3 = (далее определитель)

-3 3 2

-333 = - 21

-4-3-4

V = 1/6 * | (M4M1 x M4M2) * M4M3 | = 1/6 * 21 = 3.5

Свои обозначения точек поставьте сами