Даны вершины пирамиды

А1 (1,-1,1)

А2 (2,1,1)

А3 (3,1,2)

А4 (1,0,3)

а) Записать уравнение грани пирамиды А2 А3A4 и найти её расстояние от точки А1 по вариантам заданий.

б) Найти проекцию точки А1 на грань А2 А3A4 по вариантам заданий.

Уравнение A2A3A4

ax+by+cz+d=0

подставляем координаты точек

2a+b+c+d=0

3a+b+2c+d=0

a+3c+d=0

Пусть a=1, Тогда с = - 1 d=2 b = - 3

Уравнение плоскости A2A3A4

x-3y-z+2=0

нормализованное уравнение плоскости

к=√ (1+9+1) = √11

1/к*x-3/к*x-1/к*z+2/k=0

подставляем координаты точки А1 в нормализованное уравнение

расстояние равно = 1/к+3/к-1/к+2/к=5/√11

Уравнение прямой проходящей через A1 (1; -1; 1) перпендикулярно плоскости x-3y-z+2=0

имеет вид

(x-1) / 1 = (y+1) / (-3) = (z-1) / 1

Или

x-1=t

y+1 = - 3t

z-1 = - t

x-3y-z+2=0

Решением этой системы при t = - 5/11 будет точка проекции на плоскость A2A3A4

A5 (6/11; 4/11; 16/11)