Найдите число корней уравнений cos (x-π) - cos²4x=sin²4x-sin (x/2+3π/2) принадлежащих отрезку [-π; 4π/3]

Формулы приведения:

cos (x - pi) = cos (pi - x) = - cos x

sin (x/2 + 3pi/2) = sin (x/2+3pi/2-2pi) = sin (x/2-pi/2) = - cos (x/2)

Подставляем

-cos x - cos^2 (4x) = sin^2 (4x) + cos (x/2)

-cos x = sin^2 (4x) + cos^2 (4x) + cos (x/2) = 1 + cos (x/2)

Переходим к половинному аргументу и переносим все налево

- (2cos^2 (x/2) - 1) - 1 - cos (x/2) = 0

-2cos^2 (x/2) + 1 - 1 - cos (x/2) = 0

2cos^2 (x/2) + cos (x/2) = 0

cos (x/2) * (2cos (x/2) + 1) = 0

1) cos (x/2) = 0; x/2 = pi/2 + pi*k; x = pi + 2pi*k

2) cos (x/2) = - 1/2; x/2 = + - 2pi/3 + 2pi*n; x = + - 4pi/3 + 4pi*n

Отрезку [-pi; 4pi/3] принадлежат 3 корня:

x1 = - pi; x2 = pi; x3 = 4pi/3

Ответ: 3 корня.