Про некоторую дробь с положительным числителем и знаменателем известно что при увеличении ее числителя и знаменателя на 12 она сама увеличится в 3 раза. Найдите все такие несократимые дроби. в ответе укажите сумму дробей обратных к полученным

Пусть a - числитель, b - знаменатель. Тогда числитель и знаменатель после увеличения 12 будут равны: (a + 12) и (b + 12).

Новая дробь в 3 раза той, которая была:

3*a/b = (a + 12) / (b + 12) ; 3a * (b + 12) = b * (a + 12) ; 3ab + 36a = ab + 12b;

36a = 12b - 2ab; 18a = 6b - ab; 18a = b * (6 - a) ;

Т. к. по условию числитель и знаменатель - положительные, то из последнего выражения имеем 1 ≤ a ≤ 5. Кроме этого a и b не равны нулю, т. к. дроби не будет.

Теперь перебираем:

a = 1; 18 = b * 5; b = 3.6. Дробь имеет вид 1/3,6.

a = 2; 36 = b * 4; b = 9; Дробь 2/9.

a = 3; 54 = b * 3; b = 18; Дробь 3/18 = 1/6 сократимая.

a = 4; 72 = b * 2; b = 36; Дробь 4/36 = 1/9 сократимая

a = 5; 90 = b * 1; b = 90; Дробь 5/90 = 1/18 сократимая

Несократимые только две. Переворачиваем их (обратные) и суммируем:

3,6/1 + 9/2 = 3,6 + 4,5 = 8,1