Если при делении чисел: 1) на 3; 2) на 9 остатки от деления отличны от 0, будут ли суммы цифр этих чисел кратны 3; 9?

Решение

Докажем, что полученное число кратно 3.

Первый способ. Так как данные простые числа составляют арифметическую прогрессию, то их можно записать в виде: а - d, а, а + d. Сумма цифр каждого из этих чисел даёт тот же остаток при делении на 3, что и само число. Значит, сумма цифр девятизначного числа дает тот же остаток при делении на 3, что и сумма данных чисел, которая равна 3 а. Таким образом, полученное число кратно 3.

Второй способ. Заметим, что разность прогрессии должна быть кратна 3, иначе три члена прогрессии будут иметь разные остатки от деления на 3, то есть среди них будет число, кратное 3, которое не может быть простым. Следовательно, данные числа имеют одинаковые остатки при делении на 3 и такие же остатки при делении на 3 имеют суммы их цифр, поэтому сумма цифр девятизначного числа кратна 3.

Ответ

Не может.