10cos^2x+3cosx>=1 помогите

В заданном уравнении 10cos²x+3cosx>=1 заменим: cosx=n.

Перенесём 1 влево и получим 10n ² + 3n - 1 ≥ 0.

Графически - это часть параболы от оси Ох и выше в положительной полуплоскости.

Находим точки пересечения параболы с осью Ох (то есть приравняем квадратный трёхчлен нулю) :

10n² + 3n - 1 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно n: Ищем дискриминант:

D=3^2-4*10 * (-1) = 9-4*10 * (-1) = 9-40 * (-1) = 9 - (-40) = 9+40=49; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

n₁ = (√49-3) / (2*10) = (7-3) / (2*10) = 4 / (2*10) = 4/20 = 0,2; n₂ = (-√49-3) / (2*10) = (-7-3) / (2*10) = - 10 / (2*10) = - 10/20 = - 0,5.

Делаем обратную замену:

cosx = 0,2, x = + - arc cos 0,2 + 2πk, k ∈ Z.

x₁ = 2πk - 1,369438,

x ₂ = 2πk + 1,369438.

cosx = - 0,5, x = + - arc cos (-0,5) + 2πk, k ∈ Z.

x₃ = 2πk - 2,094395,

x₄ = 2πk + 2,094395.

Заданный квадратный трёхчлен можно представить в виде множителей:

ax² + bx + c = а (x-x₁) (x-x₂), где x₁ и x₂ корни уравнения.

10cos²x + 3cosx - 1 ≥ 0.

10 (cos x - 0,2) (cos x + 0,5) ≥ 0.

Отсюда ответ:

2πn - arc cos (1/5) ≤ x ≤ 2πn + arc cos (1/5),

2πn + (2π/3) ≤ x ≤ 2πn + (4π/3).