А) Запишите уравнение окружности, проходящей через точки А (2,0), В (5,0) и касающейся оси Оу.

б) Найдите координаты точек пересечения порабол у=-2 х^2-х-6 и у=х^2-2.

в) Найдите координаты точек пересечения гиперболы ух=2 и окружности х^2+у^2=4.

1) Если окружность проходит через точки А (2,0), В (5,0), то её центр лежит на прямой х = (2+5) / 2 = 7/2 = 3,5.

А так как окружность касается оси Оу, то радиус R равен 3,5.

Координату уо центра по оси Оу определяем как высоту в равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами R и основанием 5-2 = 3.

уо = √ (3,5²-1,5²) = √ ((3,5-1,5) (3,5+1,5) = √ (2*5) = √10.

Получаем уравнение окружности (х-3,5) ² + (у-√10) ² = 3,5².

2) Параболы у=-2 х^2-х-6 и у=х^2-2 не пересекаются.

Первая ветвями вниз имеет вершину в точке:

Хо = - в/2 а = 1 / (-2*2) = - 1/4, Уо = - 2*1/16 + (1/4) - 6 = - 5,875.

Вторая ветвями вверх имеет вершину Уо = - 2.

3) Решаем систему из двух уравнений способом подстановки:

ух=2, у = 2/х,

х^2 + (2/х) ^2=4.

x^4-4x^2+4 = 0 вводим замену переменной х ² = а.

а²-4 а+4 = 0 или (а-2) ² = 0.

Отсюда имеем один корень: а = 2

Обратная замена даёт 2 точки пересечения: х = + - √2, у = + - 2/√2 = + - √2.

Координаты точек пересечения: (√2; √2) и (-√2; - √2).