Найдите точки экстремума функции у = 1+2x^2-x^4

Решение

Находим первую производную функции:

y' = - 4x³+4x

или

y' = 4x * (-x²+1)

Приравниваем ее к нулю:

-4x³+4x = 0

4x (x² - 1) = 0

4x = 0

x₁ = 0

x² - 1 = 0

x₂ = 1

x₃ = - 1

Вычисляем значения функции

f (-1) = 2

f (0) = 1

f (1) = 2

Ответ: fmin = 1, f max = 2

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

y'' = - 12x²+4

Вычисляем:

y'' (-1) = - 8 < 0 - значит точка x = - 1 точка максимума функции.

y'' (0) = 4 > 0 - значит точка x = 0 точка минимума функции.

y'' (1) = - 8 < 0 - значит точка x = 1 точка максимума функции.

Находим производную функции приравниваем к нулю у'=4 х-4 х^3=0.

Находим корни: х=0, х=1, х=-1. Это и будут точки экстремумов.