Найти производную y = (x^4+5) ^ctgx

Хитрая производная! Она берется так:

y = f (x) ^g (x)

Сначала берем производную от степенной функции, считая g (x) постоянной

Потом производную от показательной функции, считая f (x) постоянной.

Можно и наоборот. Результаты складываем.

y ' = g (x) * f (x) ^ (g (x) - 1) * f ' (x) + f (x) ^g (x) * ln (f (x)) * g ' (x)

Можно f (x) ^g (x) вынести за скобки

y ' = f (x) ^g (x) * [g (x) * f ' (x) / f (x) + ln (f (x)) * g ' (x) ]

В нашем случае

y = (x^4+5) ^ctg x

y' = ctg x * (x^4+5) ^ (ctg x-1) * (4x^3) + (x^4+5) ^ctg x*ln (x^4+5) * (-1 / (1+x^2)) =

= (x^4+5) ^ctg x*[4x^3*ctg x / (x^4+5) - ln (x^4+5) / (1+x^2) ]