Три шара радиуса √3 попарно касаются внешним образом, а также касаютя плоскости. Найдите радиус шара, касающего данных шаров внешним образом и плоскости А, также обьем пирамиды, вершинами которой являюся ценрыэтих четырех шаров

Пусть R радиус одного из 3-х одинаковых шаров, r радиус шара касающегося их и плоскости. Тогда 2R - сторона основания пирамиды (равносторонний Δ), (R+r) - длина боковой грани. Проекция вершины пирамиды на основание совпадает с точкой пересечения медиан (высот, биссектрис в Δ основания). Высота Δ основания есть √ (4R²-R²) = R√3. Расстояние от вершины Δ основания до точки пересечения медиан (высот, биссектрис в Δ основания) есть 2/3 от всей длины медианы, т. е. 2/3*R√3.

Высота пирамиды есть (R-r). По теореме Пифагора (R-r) ² = (R+r) ² - (2/3*R√3) ².

R²-2Rr+r²=R²+2Rr+r²-4/9*3*R²;

4Rr=4/3*R²;

r=R/3=√3/3; r=√3/3!

Обьем пирамиды есть 1/3 (Δ основания * высота пирамиды) :

Обьем пирамиды = 1/3 (2R*R√3/2 * (R-r)) = 1/3*2*3*√3/2 * (√3-√3/3) = 2.

Обьем пирамиды = 2!