Найти значение параметра m, при котором сумма кубов действительных корней уравнения x^2 + (m-1) * x + (m^2) / 3 = 0

будет наименьшей

X^2 + (m-1) * x + m^2/3 = 0

У нас должно получиться два корня, значит, D > 0

D = (m-1) ^2 - 4*m^2/3 = m^2 - 2m + 1 - 4m^2/3 = - m^2/3 - 2m + 1 > 0

Умножаем на - 3

m^2 + 6m - 3 < 0

D/4 = 3^2 - (-3) = 9 + 3 = 12 = (2√3) ^2

m1 = - 3 - 2√3 ~ - 6,46; m2 = - 3 + 2√3 ~ + 0,46

Значения m, при которых у этого уравнения будет 2 корня:

m ∈ (-3 - 2√3; - 3 + 2√3)

Сумма кубов корней уравнения

x1^3 + x2^3 = (x1 + x2) (x1^2 - x1*x2 + x2^2) =

= (x1 + x2) (x1^2 + 2x1*x2 + x2^2 - 3x1*x2) =

= (x1 + x2) ((x1 + x2) ^2 - 3x1*x2)

По теореме Виета

x1 + x2 = - b/a = 1 - m

x1*x2 = c/a = m^2/3

Подставляем

f (m) = (1-m) ((1-m) ^2 - 3*m^2/3) = (1-m) (1-2m+m^2-m^2) = (1-m) (1-2m)

Это произведение будет минимально, когда производная = 0

f ' (m) = - (1 - 2m) + (1 - m) (-2) = - 1 + 2m - 2 + 2m = 4m - 3 = 0

m = 3/4

Извиняюсь, это неправильный ответ, но я его все равно оставлю.

Дело в том, что полученное m = 3/4 > - 3 + 2√3

При таком m у уравнения вообще не будет действительных корней.

Поэтому правильный ответ: при m = - 3 + 2√3