Найдите все числа, на которые можно сократить дробь 5a+2/8a+1, где a - некоторое натуральное число. В ответе укажите сумму всех таких чисел.

Замечание. Не при всех натуральных a указанная выше дробь может сократиться, поэтому задание состоит в том, чтобы найти такие натуральные числа, на которые дробь может сократиться при каком-то натуральном a, т. е. не обязательно при всех a.

Дробь: (5a + 2) / (8a + 1)

Число а - натуральное, то есть 1, 2, 3, ...

Попытаемся найти их общий делитель по алгоритму Евклида.

8a + 1 = (5a + 2) * 1 + (3a - 1)

При a = 1/3 остаток равен 0, но нам это не подходит.

5a + 2 = (3a - 1) * 1 + (2a + 3)

При а = - 3/2 остаток равен 0, но нам это не подходит

3a - 1 = (2a + 3) * 1 + (a - 4)

При а = 4 остаток равен 0, и нам это подходит. Тогда дробь

(5*4 + 2) / (8*4 + 1) = 22/33 = 2/3. Сократили на 11.

Пусть a = / = 4

2a + 3 = (a - 4) * 1 + (a + 7)

При а = - 7 остаток равен 0, но нам это не подходит.

a - 4 = (a + 7) * 1 - 11

Этот остаток уже никогда не будет равен 0.

Ответ: единственный случай - это а = 4, сокращаем на 11.