Высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины треугольника, делят угол при этой вершине на четыре равных угла. Найдите углы треугольника.

Воспользуемся тем, что в любом треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой (это известный факт и легко доказывается, поэтому здесь не буду) Итак, пусть один из этих 4-х углов равен х. Тогда один из углов тр-ка равен 90-х, угол между биссектрисой и основанием тоже равен 90-х. Тогда угол между медианой и основанием равен 90-2 х, и третий угол треугольника равен 90-3 х.

Если обозначить медиану треугольника через m, а половину основания через а, то по теореме синусов для треугольников образованных медианой получим:

m/sin (90-x) = a/sin (3x) и m/sin (90-3x) = a/sin (x). Отсюда

m/a=cos (x) / sin (3x) = cos (3x) / sin (x)

т. е. sin (2x) = sin (6x), откуда x=Pi/8. Т. е. углы треугольника Pi/2, 3Pi/8 и Pi/8. (При решении уравнения образуются еще углы, но они все не острые и нам не подходят).