1) Найти наименьшее и наибольшее значения функции y=x^3 - 3x + 7 в промежутке x∈[-3; 1]

2) Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону s (t) = t^4 - 6t^2 + 4. В какой момент времени скорость движения точки будет наибольшей и какова величина скорости?

3) Число 24 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в три раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.

Начнем с задачи 1.

y=x^3-3x+7 x∈[-3; 1]

y (-3) = (-3^3) - 3 * (-3) + 7=-27+9+7=-11

y (1) = 1-3+7=5

y' = 3x^2-3=0⇒ x^2=1 x=+1 x=-1 при х=1 считали это 5

у (-1) = - 1+3+7=9

Имеем значения 5, 9, - 11, наименьшее значение - 11 и наибольшее 9.

задача 2

v (t) = s' (t) = 4t^3-12t

чтобы найти экстремумы v берем v'=0 12t^2-12=0 t=1 t=-1 - отбрасываем, по знакам v' при t1 видим что в t=1 минимум, а не максимум. v (1) = 4-12=-8 но по модулю 8. Мы можем также найти интервал значений t. V (t) = 4t (t^2-3) t1=0 t2=√3 (тело остановится).

v (√3) = 4*√3^3-12*√3=√3 (4*3-12) = 0

Максимальная скорость по модулю равна 8 при t=1

задача 3

24=а+в + с, а, в, с>0 и в=3 а, то есть

а+3 а+с = 24⇒4 а+с=24 и надо, чтобы

а*в*с = а*3 а*с=3 а^2*c с=24-4 а

имеем 3 а^2 (24-4 а) = 12 а^2 (6-a) = 72a^2-12a^3 наибольшее?

производная по а рана у' (а) = 144 а-36 а^2=36 а (4-а) = 0 а=0 или а=4 - берем а=4 так как а>0.

в=3 а=12, с=24-4 а = 24-16=8

проверим: 4+12+8=24 а*в*с=4*12*8=384, кстати.

ответ 24=4+12+8