Существуют 1997 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого?

Данную задачу можно сформулировать по другому.

для любого натурального числа к можно указать ряд из к последовательных натуральных чисел, в котором нет простых чисел.

в качестве доказательства рассмотрим последовательность

(к+1) !+2; (к+1) !+3; (к+1) !+4; ... (к+1) ! + (к+1).

первое число последовательности делится на 2, второе на 3, ... последнее на (к+1). в данном ряду нет простых чисел, т. к. все числа последовательности составные.

вот в общем виде решение вашей задачи.

Заметим, что n! = 1 * 2 * 3 * ... * n делится на каждое из чисел 2,3, ..., n. поэтому при таких натуральных к, для которых 2