Докажите, что не существует натуральных x и y таких, что x^3+y^3=7*8^k

Разложим:

(x+y) (x^2-xy+y^2) = 7*8^k

(x+y) ((x+y) ^2-3xy) = 7*8^k

для удобства заменим:

x+y=a

xy=b

a (a^2-3b) = 7*8^k

Число 7*8^k можно представить в виде произведения 2 множителей только так 7*2^n * 2^m

Откуда:

a=7*2^n

a^2-3b=2^m

a^2=49*2^2n

Вычетая почленно получим: 3b=49*2^2n-2^m но тогда число 3b является четным, а тогда число b четное. Тк b=xy то в любом случае хотя бы 1 из чисел x и у четное, тк произведение 2 нечетных чисел всегда нечетно.

Тк из условия x^3+y^3 четное число, то раз одно из чисел x и y четное, то каждый из слагаемых четный, тк сумма четного и нечетного числа - число не четное. пользуясь этим запишем:

(2x1) ^3 + (2y1) ^3=7*8^k

x1^3+y1^3=7*8^k-1, далее пользуясь этим рассуждением заново можно доказать что оба новых числа четные и тд пока не сократятся все степени 8! И так подделав k итераций получим что:xk^3+yk^3=7 но такое невозможно, тк возможны разложения: 6+1 5+2 3+4, то есть невозможно представить в виде суммы кубов.

А значит мы пришли к противоречию утверждение доказано!