На плоскости проведено 12 прямых. Докажите, что какие-то две из них образуют угол не больше 15°.

Это оригинальная задача. Возможно 2 варианта:

Либо среди них есть хотя бы 1 паралельная прямая либо их нет.

В первом варианте, если паралельные прямые есть, то угол между ними 0 градусов, а значит в этогм случае условие выполняется <15 градусов.

2 вариант: Когда параллельных прямых нет, то тк по аксиоме планиметрии любые две не параллельные прямые пересекаются, тк все они не паралельны друг другу, то если рассмотреть произвольную прямую L, то все остальные прямые пересекут данную. Воспользуемся теперь свойством, что если прямая пересекает другую прямую под углом A, то параллельная ей прямая пересекает эту прямую под тем же самым углом. Отметим на прямой L точку A;

А теперь построим к каждой их оставшихся 11 прямых прямую (клон)

Паралельную этой прямой и проходящей через точку A! из сказанного выше все углы между любыми двумя прямыми клонами к данным будут равны углам между любыми 2 прямыми не клонами, то есть все углы между прямыми сохранятся тк мы проводили только параллельные прямые!

Таким образом мы получим пучок прямых в точке A со всеми углами между 2 прямыми анологичные старым. Теперь мы не будем рассматривать все углы, а только те между которыми не проведено других прямых. Если мы покажем что среди выбранных из всей массы углов есть хотя бы один угол не более 15 градусов, то естественно этот угол можно будет найти и во всей массе углов это очевидно. Итак проведем доказательство: Положим что среди выбранных углов все больше чем 15 градусов, тк у нас 12 прямых и они лежат в пучке A, то всего соседних углов 12 штук. Прямая L образует полный развернутый угол 180 градусов. Если бы все углы были по 15 градусов то суммарный угол был бы как раз 15*12=180! Но тогда если все углы будут более 15 градусов, то выйдет что величина развернутого угла L будет превышать 180 градусов, тогда мы пришли к противоречию, а значит такое невозможно, но тогда хотя бы один из углов менее или равен 15 градусов.

А раз среди углов клонов найдется такой угол, то и среди углов не клонов такой угол тоже найдется.

Что и требовалось доказать!