Можно записать в ряд числа от 1 до 2014 так, чтобы любые два соседних числа и любые два числа, находятся через одно, было взаимно простыми

Для того чтобы все числа через 1 были взаимно простые, то любые самые ближайшие в этом ряду четные четные числа должны быть на расстоянии 2 чисел друг от друга, то есть между ближайшеми четными числами должно быть как минимум 2 нечетных числа. Рассмотрим 3 варианта:

1) Предположим что первое и последнее число в ряду четное тогда тк всего 1007 четных чисел, но тогда наименьшее возможное число нечетных чисел (когда все четные идут через 2 нечетных)

Будет 1006*2=2012 но нечетных чисел 1007, мы пришли к противоречию, значит такое невозможно. 2) Положим что первое число четное, а последнее нечетное (или налборот), тогда

Тогда. Число нечетных чисел может должно быть хотя бы 2*1006+1=2013, тк для наименьшего числа нечетных чисел необходимо, чтобы после каждого четного включая первое было 2 нечетного, а после последнего четного было 1 нечетное. (Если нарборот, тоже самое только отсчет ведем от конца к началу)

3) И первое и последние числа нечетные тут наименьшее количество нечетных должно быть

1005*2+2=2012 (надеюсь понятно) опять невозможно.

таким образом из 3 данных невозможен не 1 из исходов, а значит рас положить таким образом числа невозможно.