Докажите, что точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Возьмём угол BAC, биссектрису AH, HB перпендикулярно AB, HC перепендикулярно AC и докажем, что HB=HC. Действительно, треугольники BAH и CAH подобны по 2 углам (углы ABH и ACH прямые, углы BAH и CAH равны, потому что AH-биссектриса), коэффициент подобия равен 1 (так как гипотенузы равны), значит, расстояния до сторон угла являются соответственными сторонами, а так как коэффициент подобия равен 1, то они равны.