В треугольнике АВС проведена биссектриса ВD. На ней взята точка М. Докажите равенство треугольников АВМ и СВМ, если АВ = ВС.

1) Если BD - медиана и высота, то AD = DC, ∠ADB = ∠CDB = 90°, BD - общая. ΔABD = ΔCBD по двум катетам. Откуда АВ = ВС, таким образом, ΔАВС - равнобедренный. 2) Если BD - высота и биссектриса, то ∠ABD = ∠DBC, ∠ADB = ∠BDC, BD - общая. ΔABD = ΔCBD по 2 катету и двум прилежащим углам. Откуда АВ = ВС, таким образом, ΔАВС - равнобедренный. 3) Если BD - биссектриса и медиана: Продлим BD до точки В1, так, что BD = DB1. В ΔABD и ΔСDB1: AD = DC (т. к. ВD - медиана) BD = DB1 ∠ADB = ∠CDB1 (из построения, как вертикальные). Таким образом, ΔABD = ΔCDB1 по 1-му признаку равенства треугольников. Откуда ∠ABD = ∠CB1D, АВ = В1 С. Аналогично ΔADB1 = ΔBDC. ∠AB1D = ∠DBC, AB1 = BC. Т. к. ∠ABD = ∠DBC (т. к. BD - биссектриса), то ∠ABD = ∠DBC = ∠AB1D. ΔВВ1 А - равнобедренный, т. к. ∠ABD = ∠AB1D,