Дан куб (абсда1 б1 с1 д1), ребро которого равно 1

найдите угол между векторами ДА1 и ДМ, где точка М - середина ребра СС1

Достроим сечение, проходящее через прямые А1 Д и ДМ. Это будет трапеция А1 ДМР, МР║А1 Д, МР=0,5*В1 С=0,5*А1 Д (А1 Д=В1 С).

А1 Д=√ (АА1²+АД²) = √ (1+1) = √2, МР=0,5*√2=√2/2.

Проведём высоты трапеции: РН⊥А1 Д и МК⊥А1 Д.

КД=0,5 * (А1 Д-НК) = 0,5 * (А1 Д-РМ) = 0,5 * (√2-√2/2) = 0,5 * (√2/2) = √2/4.

ΔКДМ: ∠ДКМ=90°, МД=√ (СД²+МС²) = √ (1²+0,5²) = √ (1+1/4) = √ (5/4) = √5/2,

cos∠КДМ=КД/МД=√2/4:√5/2=√2 / (2·√5) = 1√10.

∠КДМ=arccos (1/√10) = arccos (√10/10).