Докажите, что всякий треугольник можно разрезать на 3 меньших тупоугольных треугольника. Докажите, что всякий треугольник можно разрезать на 2018 меньших тупоугольных треугольников. При каких натуральных N произвольный треугольник заведомо можно разрезать на N меньших тупоугольных треугольника

1. Соединим все вершины треугольника с точкой пересечения биссектрис. Докажем, что разрезав по получившимся отрезкам наш треугольник, мы получим три тупоугольных. Пусть углы треугольника а, б, с. Так как сумма всех углов треугольника меньше 180, то сумма двух углов тем более: а+б<180, значит а/2 + б/2<90. Рассмотрим один из трех треугольников, получившихся после разрезания. В нем как раз один угол а/2, второй б/2, а значит третий угол больше 90 градусов, значит треугольник тупоугольный. Аналогично, два оставшихся треугольника тоже тупоугольные.

2. Чтобы доказать, что треугольник можно разрезать на 2018 тупоугольных треугольников, докажем, что его можно разрезать на любое количество (но больше двух) тупоугольных треугольников. Для этого сначала докажем, что любой тупоугольный треугольник можно разрезать на два тупоугольных. Действительно, проведя отрезок из острого угла к середине противоположной стороны, мы получим два тупоугольных (один, так как он содержит угол, изначально тупой, и второй треугольник имеет угол, бОльший чем изначальный тупой).

Так, мы умеем делить любой треугольник на три тупоугольных и умеем делить любой тупоугольный на два тупоугольных. Берём произвольный треугольник и делим на три тупоугольных. Далее, любой из получившихся тупоугольных делим на два тупоугольных. Теперь исходный треугольник разделен на 4 тупоугольных. Любой из них можно опять поделить на два тупоугольных. Таким образом, мы можем с каждым разрезом получать на один треугольник больше, а значит рано или поздно, получим 2018 треугольников.

3. Осталось доказать, что нельзя поделить произвольный треугольник на два тупоугольных. Это очевидно для правильного треугольника: проводя из вершины отрезок на противоположную сторону, один из двух получившихся треугольников всегда будет остроугольным

Ответ: N от трёх до бесконечности