Точка на гипотенузе прямоугольного треугольника, равноудаленная от катетов, делит ее на отрезки 30 и 40 см. Найти периметр прямоугольника.

Из заданной точки на гипотенузе проведём отрезки, перпендикулярные катетам. Получим 2 подобных прямоугольных треугольника с гипотенузами 30 и 40 и квадрат со стороной "х".

Треугольник с гипотенузой 30 имеет один катет "х", а второй обозначим "у".

Треугольник с гипотенузой 40 имеет один катет "х", а второй по подобию равен (4/3) х.

Найдём соотношение между х и у из подобия треугольников.

х/у = ((4/3) х) / х. Отсюда х/у = 4/3 или у = 3 х/4.

По Пифагору х² + у² = 30².

Заменим у на 3 х/4:

х² + (9 х²) / 16 = 30²,

25 х² = 30²*16 или 5²*х² = 30²*4².

Отсюда находим х = 30*4/5 = 120/5 = 24.

Тогда у = 3*24/4 = 18.

Находим катеты:

один равен 24 + 18 = 42, второй 24 + 4*24/3 = 24 + 32 = 56.

Получаем ответ: периметр равен 42 + 56 + 70 = 168.