Найдите площадь прямоугольного треугольника, зная, что сумма длин его катетов равна 11 см, а сумма их квадратов 61 см (в квадрате)

Х+у=11, хх+уу=61. Х=11-у. (11-у) ^2+у^2=61.

121-22 у+уу+уу-61=0.

2 уу-22 у+60=0.

Уу-11 у+30=0. Д=121-120=1. У = (11+1) / 2=6. У = (11-1) / 2=5. Какой бы у ни взяли, катеты получаются 5 и 6. Тогда площадь=0,5•5•6=15 см^2.

Пусть х см - 1 катет, а у см - 2 катет.

Тогда решим систему уравнений:

1)

{х+у=11

{х^2+у^2=61

2)

{х^2+2*х*у+у^2=121

{х^2+у^2=61

3)

{-х^2-2*х*у-у^2=-121

{х^2+у^2=61

4)

{-2*х*у=-60

{х+у=11

5)

{х*у=30

{х+у=11

6)

{х=11-у

{ (11-у) * у=30

•Рассмотрим отдельно вот это уравнение:

(11-у) * у=30

-у^2+11 у-30=0

D=121-4 * (-1) * 30=441

y1 = (-11+21) / 2=5

y2 = (-11-21) / 2=-16

Второй корень не подходит по смыслу задачи (катет не может быть отрецателен).

Значит, вернёмся к системе:

7)

{у=5

{х=6

Итак, катеты найдены, теперь по формуле площади прямоугольного треугольника:

S=1/2*a*b, где a и b - его катеты.

S=1/2*5*6=15 см^2.

Ответ: 15 см^2.