Докажите, что хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника.

Пусть дана окружность с центром О и в нее вписан треугольник ABC. Соединим центр окружности О с вершинами A и B треугольника, а также опустим высоту ОE на сторону AB с центра окружности. Рассмотрим треугольник OEB, OE перпендикулярна AB, то есть угол OEB - прямой, OB=R (радиусу вписанной окружности) и OE=R/2 (по условию). Тогда по теореме Пифагора (EB) ^2 = (OB) ^2 - (OE) ^2=R^2-R^2/4=3R^2/4 EB=R*sqrt (3) / 2 Рассмотрим треугольник AEO. Он равен треугольнику OEB, поскольку AO=OB=R и OE - общая сторона. Тогда и AE=R*sqrt (3) / 2, а значит AB=AE+EB = R*sqrt (3) / 2 + R*sqrt (3) / 2=R*sqrt (3) Поскольку в равносторонем треугольнике сторона равна R*sqrt (3), то и наше утверждение доказано