Докажите, что биссектриса угла A треугольника ABC проходит через точку пересечения прямых, содержащих биссектрисы внешних углов при вершинах B и C.

Пусть биссектрисы внешних углов В и С пересеуаются в точке Д. Предположим что угол АВС=gamma; а угол АСВ=betta; тогда угол СВД = (Пи/2-gamma/2) ; а угол BCD = (Пи/2-betta/2) ; угол АВД = (ПИ/2+gamma/2) ; угол АСД = (Пи/2+betta/2).

Тогда BD/sin (DAB) = AD/sin (ABD) ; and CD/sin (DAC) = AD/sin (DCA) ;

BD/sin (DCB) = CD/sin (DBC) = >CD=BD*sin (DBC) / sin (DCB) ;

sin (DAB) = BD*sin (ABD) / AD; sin (DAC) = CD*sin (DCA) / AD; подставляем

sin (DAC) = BD*sin (DBC) * sin (DCA) / (sin (DCB) * AD) ;

sin (ABD) = sin (pi/2+gamma/2) = cos (gamma/2) ; sin (DBC) = sin (pi/2-gamma/2) = cos (gamma/2) ; sin (DCA) = sin (pi/2+betta/2) = cos (betta/2) ; sin (DCB) = sin (pi/2-betta/2) = cos (betta/2) ; подставляем

sin (DAB) = BD*cos (gamma/2) / AD;

sin (DAC) = BD*cos (gamma/2) * cos (betta/2) / (cos (betta/2) * AD) ;

сокращаем получаем sin (DAC) = BD*cos (gamma/2) / AD=sin (DAB) ; = > DAB=DAC