боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно а, угол между боковыми гранями равен 2φ. найдите длину стороны основания.

Пусть пирамида имеет вершину S и в основании треугольник АВС.

Для простоты обозначим неизвестную сторону основания х.

Из точек С и В проведём к ребру АS перпендикуляры. В силу того, что грани АSC и АSВ одинаковы, эти перпендикуляры придут в одну точку К на ребре АS. Эти перпендикуляры равны: СК = ВК. Следовательно, треугольник СКВ - равнобедренный.

Мерой двугранного угла, образованного двумя боковыми гранями АSC и АSВ является линейный угол СКВ. Итак, уг. СКВ = 2φ

Из вершины К тр-ка СКВ опустим высоту КД (она же медиана, она же биссектриса) на сторону ВС.

В прямоугольном тр-ке СКД уг. СКД = φ. Половина СД стороны основания ВС равна = 0,5 х или

0,5 х = СK·sinφ.

В тр-ке АSC, являющемся боковой гранью, высоту СК можно найти из площади

S = 1/2 CK· AS

или поскольку ребро AS = a, то

S = 1/2 CK· а, откуда

СК = 2S/а.

Для другой боковой грани - тр-ка BSC, равного тр-ку АSC та же площадь

S = 1/2 SД· ВС или

S = 0,5 SД· х.

Из тр-ка СSД найдём SД

SД² = SC² - CД² или

SД² = а² - (0,5 х) ²

SД = √ (а² - (0,5 х) ²)

Теперь пошли обратно по "жирной" цепочке

Подставим SД в S = 1/2 SД· х и получим

S = 0,5 √ (а² - (0,5 х) ²) · х

S подставим в СК = 2S/а. Получим

СК = (х/а) ·√ (а² - (0,5 х) ²)

Наконец, подставим СК в 0,5 х = СK·sinφ.

0,5 х = [√ (а² - (0,5 х) ²) · х/а]·sinφ.

Преобразуем и найдём х

х / (2sinφ) = (х/а) ·√ (а² - (0,5 х) ²)

1 / (2sinφ) = (1/а) ·√ (а² - (0,5 х) ²)

а = 2sinφ·√ (а² - (0,5 х) ²)

а² = 4sin²φ· (а² - (0,5 х) ²

а² = sin²φ· (4 а² - х²)

а² - 4 а² ·sin²φ· = - х²·sin²φ

а² (4sin²φ - 1) = х²·sin²φ

х = [а·√ (4sin²φ - 1) ]/sinφ - это и есть длина стороны основания