В правильную треугольную пирамиду со стороной и боковым ребром 3 корня из 2 вписана другая треугольная пирамида так, что её вершинами являются центры граней первой пирамиды. Найдите 3V, где V-объём меньшей пирамиды.

Пусть А - длина ребра большой пирамиды. Тогда полупериметр основания:

р = 3 А/2

Площадь основания большой пирамиды:

S = √[p (p-a) ³] = √[3 А/2 · (А/2) ³] = (А²√3) / 4.

Высота большой пирамиды

Н = √ (А² - А²/3) = А√ (2/3)

Основание малой пирамиды образует плоскость, параллельную основанию большой пирамиды, т. к. вершины треугольника находятся на одном уровне от основания большой пирамиды, на высоте h, равной половине высоты Н большой пирамиды:

h = 1/2 · А√ (2/3) = A/√6

Рассечём большую пирамиду по плоскости основания маленькой пирамиды. Получим правильный треугольник с основанием, равным В = 0,5 А. Сторона а основания малой пирамиды будет стороной правильного треугольника, вершины которого лежат на серединах сторон В. Поэтому сторона а = 0,5·0,5 А = А/4

Площадь основания малой пирамиды (по аналогии с S = (А²√3) / 4) равна

s = (a²√3) / 4 = A²√3) / (4·16) = A²√3) / 64

Требуется найти 3v = s·h

3v = A²√3) / 64 · A/√6 = A³ / (64√2)

Подставим А = 3√2

3v = (3³·2√2) / (64√2) = 27/32

Ответ: 3v = 27/32