с одной точки к плоскости провели две ровных наклонных, которые образуют с перпендикуляром углы по 45 градусив. Найти угол между проекциями наклонных на эту плоскость, если наклонные образуют угол 60 градусов между собой

Пусть наклонные проведены из точки А и пересекают плоскость в точках В и С. Перпендикуляр, опущенный их точки А на плоскость пересекает её в точке Д. Поскольку наклонные АС и АВ образуют одинаковые углы с перпендикуляром АД, то они равны между собой. Обозначим их АВ = АС = х.

Поскольку наклонные АС и АВ одинаковые, то и проекции их ДВ и ДС одинаковые и равны: ДВ = ДС = х·sin45° = x/√2

Плоскость, образованная наклонными пересекает плоскость по прямой ВС. треугольник АВС - равнобедренный, т. к. АВ = АС, имеет угол при вершине 60°, следовательно два другие угла равны (180° - 60°) : 2 = 60°. И тр-к АВС равносторонний. Тогда ВС = АВ = АС = х.

Применив к тр-ку ВДС теорему косинусов, найдём угол между проекциями ДВ и ДС, обозначив его α.

ВС² = ДВ² + ДС² - 2 ДВ·ДС·cos α

x² = (x/√2) ² + (x/√2) ² - 2 (x/√2) · (x/√2) ·cos α

x² = 0.5x² + 0.5x² - 2·0.5x²·cos α

1 = 0.5 + 0.5 - cos α

cos α = 0

α = 90°