На прямой даны три точки A B C. На отрезке AB построен равносторонний треугольник ABC1, на отрезке BCпостроен равносторонний треуголӣник BCA1. Точка M середина отрезка AA1, точка N середина отрезка CC1. Доказать что треугольник BMN равносторонний. (Точка B лежит между точками A и C; точки A1 и C1 расположены по одну сторону от прямой АB)

Question

Геометрия

Христиан

28 ноября, 05:29

На прямой даны три точки A B C. На отрезке AB построен равносторонний треугольник ABC1, на отрезке BCпостроен равносторонний треуголӣник BCA1. Точка M середина отрезка AA1, точка N середина отрезка CC1. Доказать что треугольник BMN равносторонний. (Точка B лежит между точками A и C; точки A1 и C1 расположены по одну сторону от прямой АB)

+3

Ответы (1)

Знаете ответ?

Коташа · Answer 1

Треугольники АВА1 и СВС1 равные:

угол АВА1=АВС-А1 ВС=180-60=120 и угол СВС1=АВС-АВС1=180-60=120; АВ=ВС1 и А1 В=ВС.

ВМ и ВN - это соответствующие медианы. Значит ВМ=ВN, значит углы ВМN и BNM равны. Вершина В у треугольников АВА1 и СВС1 общая. Можно сказать, что это один треугольник, повернутый вокруг центра В на угол АВС1=60 градусов. Значит угол между медианами МВN=60.

Тогда в треугольнике ВМN углы ВМN = BNM = (180-МВN) / 2 = 60, значит он равносторонний