В треугольнике АВС угол В=23 градуса, угол С=41 градус, АD биссектриса. Е - такая точка АВ, что АЕ=АС. Найдите угол ВDЕ. ответ дайте в градусах. Если можно поподробней решение напишите.

Соединим точки Е и С. Треугольник ЕСА - равнобедренный, так как АС=АЕ (это дано).

Углы при основании ЕС равны между собой, а угол А равен 180° - (В+С) = 116°. Тогда углы АЕС и ЕСА равны (180°-116°) : 2=32°. Значит угол ЕFA (F - это точка пересечения биссектрисы AD и отрезка ЕС) = 180° - (AEF+EAF) = 180° - (32°+58°) = 90°. (угол EAF = 1/2 угла А, т. к. AD - биссектриса. Угол AEF = 32°, как угол при основании ЕС равнобедренного тр-ка ЕАС). Итак, при точке пересечения биссектрисы AD и отрезка ЕС все углы прямые!

В равнобедренном треугольнике ЕСА биссектриса AF (отрезок AD) является и медианой и высотой (по свойствам равнобедренного тр-ка) и EF=FC. С другой стороны, по признакам равнобедренности - если EF=FC, то тр-ник EDC, в котором FD является и медианой и высотой, равнобедренный. То есть ED=DC. Углы при основании тр-ка EDC равны угол С - угол ECA = 41°-32° = 9°. Тогда на стороне АB имеем углы АEF, DEF и BED, в сумме равные 180°.

из них нам неизвестен только угол BED, который равен 180° - (32°+9°) = 139°.

Тогда искомый угол BDE в тр-ке BDE равен 180° - (23°+139°) = 18°.

Ответ: угол BDE = 18°